Comment trouver l’équilibre de Nash ?

Comment trouver l'équilibre de Nash ?

Comment trouver l’équilibre de Nash ? Les bases de la théorie des jeux

La théorie des jeux est une discipline passionnante qui permet de modéliser les interactions entre joueurs dans des situations où leurs gains dépendent les uns des autres. Classiquement, un jeu est caractérisé par le nombre de joueurs, les stratégies disponibles pour chacun d’entre eux, et les gains (ou pertes) associés à chaque combinaison de stratégies. Le but du jeu est de trouver la stratégie qui maximise le gain individuel ou collectif.

Le problème est que, dans de nombreux jeux, il n’y a aucun choix de stratégie qui maximise le gain de tous les joueurs simultanément. Par exemple, dans le célèbre jeu du dilemme du prisonnier, chaque joueur doit décider s’il coopère ou trahit son complice, sans savoir ce que l’autre va faire. Si les deux joueurs coopèrent, ils obtiennent un petit gain chacun. Si l’un trahit et l’autre coopère, le tricheur obtient un gros gain et le coopératif un petit gain. Si les deux trahissent, ils obtiennent un moyen gain. On peut représenter ces gains dans le tableau suivant :

CoopèreTrahit
Coopère(2,2)(0,3)
Trahit(3,0)(1,1)

Dans cette situation, il n’y a pas d’équilibre dominant (c’est-à-dire de stratégie qui est meilleure pour chaque joueur, quelle que soit la stratégie des autres), car chaque joueur peut améliorer son gain en trichant si l’autre coopère, ou en coopérant si l’autre triche. Mais s’ils trichent tous les deux, ils obtiennent un résultat pire que s’ils avaient coopéré. On peut donc dire qu’il existe un équilibre de Nash (du nom du mathématicien John Nash) dans ce jeu, qui correspond à la situation où chaque joueur choisit la stratégie qui maximise son gain en supposant que l’autre va faire de même. Dans le cas du dilemme du prisonnier, il s’agit de la stratégie « trahir », qui mène à un gain de 1 pour chaque joueur.

Les conditions d’existence d’un équilibre de Nash

En général, pour qu’il existe un équilibre de Nash dans un jeu, il faut que certaines conditions soient remplies. On peut distinguer plusieurs types de jeux en fonction de ces conditions :

Jeu à somme nulle

Un jeu à somme nulle est un jeu où la somme des gains des joueurs est toujours égale à zéro. Dans ce cas, il existe toujours un équilibre de Nash en stratégies pures (c’est-à-dire déterministes), car si un joueur maximise son gain, l’autre doit minimiser le sien. Par exemple, dans le jeu où chacun doit choisir un nombre entre 1 et 100, et où le gagnant est celui qui s’approche le plus du tiers de la somme des deux nombres choisis, on peut montrer qu’il existe un équilibre de Nash en stratégies pures où les deux joueurs choisissent 33 (qui minimise le gain de l’autre quoi qu’il fasse).

Jeu à information complète

Un jeu à information complète est un jeu où chaque joueur connaît toutes les informations pertinentes, c’est-à-dire les stratégies disponibles, les gains associés à chaque combinaison de stratégies, et les choix des autres joueurs. Dans ce cas, il existe toujours au moins un équilibre de Nash en stratégies pures, car chaque joueur peut déterminer le meilleur choix en connaissant les choix des autres (Sauf s’il y a des circonstances particulières).

Jeu à information incomplète

Un jeu à information incomplète est un jeu où chaque joueur ne connaît pas toutes les informations pertinentes, par exemple la stratégie choisie par l’adversaire. Dans ce cas, il existe généralement plusieurs équilibres de Nash en stratégies mixtes (c’est-à-dire probabilistes) où chaque joueur choisit une stratégie avec une certaine probabilité. Dans le jeu du dilemme du prisonnier, par exemple, il existe un équilibre de Nash en stratégies mixtes où chaque joueur coopère avec une probabilité de 1/3 et trahit avec une probabilité de 2/3.

Comment trouver l’équilibre de Nash ?

Il existe plusieurs méthodes pour trouver l’équilibre de Nash dans un jeu. Voici quelques-unes des plus courantes :

La méthode de l’élimination des stratégies dominées

L’idée de cette méthode est d’éliminer les stratégies qui sont toujours dominées par une autre, c’est-à-dire qui mènent à un gain inférieur quelle que soit la stratégie choisie par l’adversaire. Par exemple, dans le jeu où chacun doit choisir un nombre entre 1 et 100, on peut éliminer toutes les stratégies qui ne sont pas 33 (car elles mènent à un gain inférieur si l’autre choisit 33). On obtient ainsi un jeu plus simple où les stratégies restantes sont toutes des équilibres de Nash.

La méthode de la maximisation du gain

L’idée de cette méthode est de chercher la stratégie qui maximise le gain individuel ou collectif, en supposant que l’adversaire fait de même. Cette méthode est limitée aux jeux où il existe un équilibre dominant, car elle ne permet pas de trouver les équilibres mixtes. Elle peut cependant être utile pour trouver rapidement un équilibre de Nash dans un jeu simple.

La méthode des stratégies mixtes

L’idée de cette méthode est de chercher un équilibre de Nash en stratégies mixtes, où chaque joueur choisit une stratégie avec une certaine probabilité. Pour trouver cet équilibre, on cherche d’abord les stratégies qui mènent à une indifférence entre toutes les autres stratégies possibles de l’adversaire (i.e les stratégies pour lesquelles les gains sont tous les mêmes peu importe la stratégie choisie par l’adversaire). On calcule ensuite les probabilités pour chaque joueur en résolvant un système d’équations linéaires.

Conclusion

L’équilibre de Nash est un concept clé de la théorie des jeux, qui permet d’analyser les choix stratégiques des joueurs dans des situations complexes. En général, il existe plusieurs équilibres de Nash dans un jeu, qui peuvent être en stratégies pures ou en stratégies mixtes. Il existe plusieurs méthodes pour trouver l’équilibre de Nash, mais aucune n’est universelle, car elles dépendent du type de jeu considéré. La théorie des jeux offre une panoplie de modèles et d’outils d’analyse pour aider à trouver la meilleure stratégie à adopter et à comprendre les interactions entre joueurs.